Question

【題目】已知圓O的直徑為4cm，A是圓上一固定點，弦BC的長為2cm，當△ABC為等腰三角形時，其底邊上的高為_____．

Answer 1

【答案】或2，或

【解析】

當BC為底邊時，如圖1，連接AO延長與BC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△ACO，∠BAO=∠CAO，得△ABF≌△ACF，由全等的性質得，BF=CF，由垂徑定理得，AF⊥BC，AF為△ABC的高，利用勾股定理可得OF，可得AF的長；

當BC為腰時，如圖2，連接BO并延長與AC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△CBO，∠ABO=∠CBO，得△ABF≌△CBF，由全等的性質得，AF=CF，由垂徑定理得，BF⊥AC，BF為△ABC的高，由勾股定理逆定理得，△BOC為等腰直角三角形，∠CBO=45°，由等腰三角形的性質得，BF=CF，利用勾股定理可得BF的長；

當如圖3所示時，BC為底，利用垂徑定理得BF=CF=，利用勾股定理可得AF的長．

解：當BC為底邊時，如圖1，連接AO延長與BC交于F，

在△ABO與△ACO中，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠BAO＝∠CAO，

在△ABF與△ACF中，

∴△ABF≌△ACF（SAS），

∴BF＝CF＝，

∴AF⊥BC，

∴AF為△ABC的高，

在直角△BOF中，

OF＝＝＝，

∴AF＝2+；

當BC為腰時，如圖2，連接BO并延長與AC交于F,

同理可證得：△ABO≌△CBO，

∴∠ABO＝∠CBO，

可得△ABF≌△CBF，

∴AF＝CF，

∴BF⊥AC，BF為△ABC的高，

∵OB2+OC2＝8，BC2＝8，

∴△BOC為等腰直角三角形，

∴∠CBO＝45°，

∴CF＝BF，

設CF＝BF＝x，

則2x2＝8，

解得：x＝2，

∴BF＝2，

當如圖3所示時，BC為底，

∵AF⊥BC，

∴BF＝CF＝，

設AF＝x，則OF＝2﹣x，

∴(2﹣x)2+()2＝22，

解得：x＝2+或x＝2-

故答案為：2+或2或2-.