Question

已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=,AE⊥BD，垂足是E.點F是點E關于AB的對稱點，連接AF、BF.
（1）求AE和BE的長；
（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）.當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值.
（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角（0°＜＜180°），記旋轉中的△ABF為△A′BF′，在旋轉過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交于點P.與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）4，3；（2）當點F在線段AB上時，；當點F在線段AD上時，；
（3）存在，.

試題分析：（1）由勾股定理求得BD的長，根據三角形面積公式求出AE的長，再應用勾股定理即可求得BE的長.
（2）根據平移的性質求解即可.
（3）分DP=DQ（考慮點Q在線段BD的延長線和點Q在線段BD上兩種情況），QP=QD，PD=PQ三種情況求解即可.
試題解析：（1）∵AB=5，AD=，∴由勾股定理得.
∵，∴，解得AE=4.
∴.
（2）當點F在線段AB上時，；當點F在線段AD上時，.
（3）存在，理由如下：
①當DP=DQ時，若點Q在線段BD的延長線上時，如答圖1，有∠Q=∠1，則∠2=∠1+∠Q=2∠Q.
∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，∴∠4+∠Q=2∠Q.∴∠4=∠Q.
∴A′Q=A′B=5.∴F′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中，，解得或（舍去）.

若點Q在線段BD上時，如答圖2，有∠1=∠2=∠4，
∵∠1=∠3，∴∠3=∠4.
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠CBD，∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ.∴∠4=∠∠A′BQ.∴A′Q= A′B=5.
∴F′Q=5-4=1.∴.∴.

②當QP=QD時，如答圖3，有∠P=∠1，
∵∠A′=∠1，∠2=∠3，∴∠4=∠P.∴∠4=∠A′.∴QB="Q" A′.
設QB="Q" A′=x，
在Rt△BF′Q中，設備，解得.

③當PD=PQ時，如答圖4，有∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，∴∠3=∠A′.∴BQ=A′B=5.
∴.
綜上所述，當△DPQ為等腰三角形時，DQ的長為.