Question

【題目】如果一個多邊形的各邊都相等，且各內角也都相等，那么這個多邊形就叫做正多邊形．如圖，就是一組正多邊形，觀察每個正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題：

（1）將下面的表格補充完整：

正多邊形邊數	3	4	5	6	…	n
∠α的度數	60°	45°			…

（2）根據規律，是否存在一個正多邊形，其中的∠α＝21°？若存在，請求出n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）36°，30°，；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）根據多邊形內角和公式求出多邊形每個內角的度數，再根據三角形內角和定理求出即可；

（2）根據（1）中得出的規律，列方程求解即可；

解：（1）當正多邊形有5條邊時，每個內角度數=(5-2) ×180°÷5=108°，則∠α=(180°-108°) ÷2=36°=180°÷5；

當正多邊形有6條邊時，每個內角度數=(6-2) ×180°÷6=120°，則∠α=(180°-120°) ÷2=30°=180°÷6；

由以上兩個式子可知，當正多邊形有n條邊時，每個內角度數；

填寫下表：

正多邊形邊數	3	4	5	6	…	n
∠α的度數	60°	45°	36°	30°	…	（）°

（2）不存在，理由如下：

設存在正n邊形使得∠α＝21°，

得∠α＝21°＝（）°．

解得：n＝8，n是正整數，n＝8（不符合題意要舍去），

不存在正n邊形使得∠α＝21°．