Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形．請解答下列問題：

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；

（2）探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）梯形、矩形、正方形；（2）答案見解析

【解析】試題分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任選兩個即可；

（2）等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長．分兩種情況證明：當BC與CE不在同一條直線上時，60°角所對的兩邊之和大于其中一條對角線的長；當BC與CE在同一條直線上時60°角所對的兩邊之和等于其中一條對角線的長．

試題解析：解：（1）梯形、矩形、正方形；

（2）結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長．

已知：四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC=BD，

且∠AOD=60度．

求證：BC+AD≥AC．

證明：過點D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．

連接CE，BE．

故∠EDO=60°，四邊形ACED是平行四邊形．

∵AC=DE，AC=BD，∴DE=BD．

∵∠EDO=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BE=AC．

①當BC與CE不在同一條直線上時（如圖1），

在△BCE中，有BC+CE＞BE，∴BC+AD＞AC．

②當BC與CE在同一條直線上時（如圖2），

則BC+CE=BE．

因此BC+AD=AC

綜合①、②，得BC+AD≥AC．

即等對角線四邊形中兩條對角線所夾角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長．