Question

【題目】畫圖計算：

(1)已知△ABC，請用尺規在圖1中△ABC內確定一個點P，使得點P到AB和BC的距離相等，且滿足P到點B和點C的距離相等(不寫作法，保留作圖痕跡)．

(2)如圖2，如果點P是(1)中求作的點，點E、F分別在邊AB、BC上，且PE＝PF．

①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度數；

②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的長．

(3)如圖3，如果點P是△ABC內一點，且點P到點B的距離是7，若∠ABC＝45°，請分別在AB、BC上求作兩個點M、N，使得△PMN的周長最小(不寫作法，保留作圖痕跡)，則△PMN的最小值為______.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①∠EPF＝120°；②BP＝；(3)7.

【解析】

（1）作∠ABC的平分線BM，線段BC的垂直平分線EF，直線EF交射線BM于點P，點P即為所求；
（2）①由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出∠EPM=∠FPN，推出∠EPF=∠MPN，即可解決問題；
②由Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），推出BM=BN，由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出EM=FN，推出BE+BF=BM-EM+BN+NF=2BN=10，推出BN=NM=5，再利用勾股定理即可解決問題；
（3）分別作點P關于邊AB、BC的對稱點E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點M、N，連接PM、PN．則線段EF的長度即為△PMN的周長的最小值；

解：(1)如圖，點P即為所求；

(2)①連接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．

∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，

∴PM＝PN，

∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，

∴Rt△PME≌Rt△PNF(HL)，

∴∠EPM＝∠FPN，

∴∠EPF＝∠MPN，

∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，

∴∠EPF＝120°．

②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°

∴Rt△PMB≌Rt△PNB(HL)，

∴BM＝BN，

∵Rt△PME≌Rt△PNF(HL)，

∴EM＝FN，

∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，

∴BN＝NM＝5，

∵BE＝2，PE＝5，

∴EM＝3，PM＝＝4，

∴BP＝＝．

(3)分別作點P關于邊AB、BC的對稱點E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點M、N，連接PM、PN．則線段EF的長度即為△PMN的周長的最小值．

∵點E與點P關于AB對稱，點F與點P關于BC對稱，

∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．

∴EF＝BE＝7

∴△PMN周長的最小值為7．

故答案為7．