Question

問題：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，點D是△ABC內的一點，且AD=CD，BD=BA。

　 探究∠DBC與∠ABC度數的比值。你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明。

　 (1) 當∠BAC=90°時，依問題中的條件補全右圖。 觀察圖形，AB與AC的數量關系為　　 當推出∠DAC=15°時，可進一步推出∠DBC的度數為　　 ；可得到?DBC與∠ABC度數的比值為　　 ；

　 (2) 當∠BAC＝90°時，請你畫出圖形，研究∠DBC與∠ABC度數的比值是否與(1)中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明。

Answer 1

解：(1) 相等；15°；1：3。

(2) 猜想：∠DBC與∠ABC度數的比值與(1)中結論相同。

　 證明：如圖2，作∠KCA=∠BAC，過B點作BK//AC交CK于點K，

　　　　 連結DK。∵∠BAC¹＝90°，∴四邊形ABKC是等腰梯形，

　　　　 ∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，

　　　　 ∴∠∴△KCD=∠3，KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，

　　　　 ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴∠ACB=∠6，

　　　　 ∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，∴KC=KB，

　　　　 ∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，∵∠ACB=∠6=60°-∠1，

　　　　 ∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，

　　　　 ∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°，∴∠2=2∠1，

　　　　 ∴∠DBC與∠ABC度數的比值為1：3。