Question

（2010•北京）問題：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，點D是△ABC內的一點，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC與∠ABC度數的比值．
請你完成下列探究過程：
先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．
（1）當∠BAC=90°時，依問題中的條件補全右圖；
觀察圖形，AB與AC的數量關系為______；當推出∠DAC=15°時，可進一步推出∠DBC的度數為______；可得到∠DBC與∠ABC度數的比值為______；
（2）當∠BAC＜90°時，請你畫出圖形，研究∠DBC與∠ABC度數的比值是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用題中的已知條件，計算出∠ACB=∠ABC，所以AB=AC（等角對等邊）；由等腰三角形的性質知∠BAD=∠BDA=75°，再根據三角形內角和是180°，找出圖中角的等量關系，解答即可；
（2）根據旋轉的性質，作∠KCA=∠BAC，過B點作BK∥AC交CK于點K，連接DK，構建四邊形ABKC是等腰梯形，根據已知條件證明△KCD≌△BAD（SAS），再證明△DKB是正三角形，最后根據是等腰梯形與正三角形的性質，求得∠ABC與∠DBC的度數并求出比值．
解答：解：（1）①當∠BAC=90°時，
∵∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角對等邊）；
②當∠DAC=15°時，
∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=75°，
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，
∴∠DBC的度數為15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC：∠ABC=1：3，
∴∠DBC與∠ABC度數的比值為1：3． 

（2）猜想：∠DBC與∠ABC度數的比值與（1）中結論相同．
證明：如圖2，作∠KCA=∠BAC，過B點作BK∥AC交CK于點K，連接DK．
∴四邊形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2=∠4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB=∠6，
∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，
∴∠KCB=∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，
∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，
∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，
∴∠2=2∠1，
∴∠DBC與∠ABC度數的比值為1：3．
點評：本題綜合考查了是等腰梯形的判定與性質、正三角形的性質、全等三角形的判定以及三角形的內角和．