Question

【題目】如圖，半圓D的直徑AB＝4，線段OA＝7，O為原點，點B在數軸的正半軸上運動，點B在數軸上所表示的數為m．

（1）當半圓D與數軸相切時，m＝　 ．

（2）半圓D與數軸有兩個公共點，設另一個公共點是C．

①直接寫出m的取值范圍是　 ．

②當BC＝2時，求△AOB與半圓D的公共部分的面積．

（3）當△AOB的內心、外心與某一個頂點在同一條直線上時，求tan∠AOB的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②△AOB與半圓D的公共部分的面積為；（3）tan∠AOB的值為或．

【解析】

（1）根據題意由勾股定理即可解答

（2）①根據題意可知半圓D與數軸相切時，只有一個公共點，和當O、A、B三點在數軸上時，求出兩種情況m的值即可

②如圖，連接DC，得出△BCD為等邊三角形，可求出扇形ADC的面積，即可解答

（3）根據題意如圖1，當OB＝AB時，內心、外心與頂點B在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，列出方程求解即可解答

如圖2，當OB＝OA時，內心、外心與頂點O在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，列出方程求解即可解答

（1）當半圓與數軸相切時，AB⊥OB，

由勾股定理得m＝ ，

故答案為： ．

（2）①∵半圓D與數軸相切時，只有一個公共點，此時m＝，

當O、A、B三點在數軸上時，m＝7+4＝11，

∴半圓D與數軸有兩個公共點時，m的取值范圍為．

故答案為：．

②如圖，連接DC，當BC＝2時，

∵BC＝CD＝BD＝2，

∴△BCD為等邊三角形，

∴∠BDC＝60°，

∴∠ADC＝120°，

∴扇形ADC的面積為 ，

，

∴△AOB與半圓D的公共部分的面積為 ；

（3）如圖1，

當OB＝AB時，內心、外心與頂點B在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，設BH＝x，則72﹣（4+x）2＝42﹣x2，

解得x＝ ，OH＝ ，AH＝ ，

∴tan∠AOB＝，

如圖2，當OB＝OA時，內心、外心與頂點O在同一條直線上，作AH⊥OB于點H，

設BH＝x，則72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，

解得x＝ ，OH＝，AH＝，

∴tan∠AOB＝．

綜合以上，可得tan∠AOB的值為或．