Question

【題目】如圖1，拋物線的頂點A的坐標為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E（0，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）已知點F（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接AB，若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點M、N（點M、N都在拋物線對稱軸的右側），當MN最大時，求△PON的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．

【解析】

(1)根據頂點式可求得拋物線的表達式；

(2)根據軸對稱的最短路徑問題，作E關于對稱軸的對稱點E′，連接E′F交對稱軸于G，此時EG+FG的值最小，先求E′F的解析式，它與對稱軸的交點就是所求的點G；

(3)如圖2，先利用待定系數法求AB的解析式，過N作NH⊥x軸于H，交AB于Q，設N(m，﹣m2+2m+3)，則Q(m，﹣2m+6)(1＜m＜3)，表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，證明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表達式，根據配方法可得當m=2時，MN有最大值，證明△NGP∽△ADB，同理得PG的長，從而得OP的長，根據三角形的面積公式可得結論，并將m=2代入計算即可．

(1)設拋物線的表達式為：y＝a(x﹣1)2+4，

把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，

a＝﹣1，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；

(2)存在，如圖1，作E關于對稱軸的對稱點E'，連接E'F交對稱軸于G，此時EG+FG的值最�。�

∵E(0，3)，∴E'(2，3)，

設EF的解析式為y=k′x+b′，

把F(0，﹣3)，E'(2，3)分別代入，得，解得，

所以E'F的解析式為：y＝3x﹣3，

當x＝1時，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；

(3)如圖2．

設AB的解析式為y=k″x+b″，

把A(1，4)，B(3，0)分別代入，得，解得，

所以AB的解析式為：y＝﹣2x+6，

過N作NH⊥x軸于H，交AB于Q，

設N(m，﹣m2+2m+3)，則Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，

∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，

∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，

∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，

∴，∴，

∴MN(m﹣2)2

0，

∴當m＝2時，MN有最大值；

過N作NG⊥y軸于G，

∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，

∴，∴PGNGm，

∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，

∴S△PONOPGN(﹣m2m+3)m，

當m＝2時，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．