Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，點A（2,1）.

（1）求點B的坐標；

（2）求經過A、O、B三點的拋物線的函數表達式；

（3）在（2）所求的拋物線上，是否存在一點P，使四邊形ABOP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) B（-1.2）;(2) y=;(3)見解析.

【解析】

（1）過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥x軸于點D，則可證明△ACO≌△ODB，則可求得OD和BD的長，可求得B點坐標；

（2）根據A、B、O三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（3）由四邊形ABOP可知點P在線段AO的下方，過P作PE∥y軸交線段OA于點E，可求得直線OA解析式，設出P點坐標，則可表示出E點坐標，可表示出PE的長，進一步表示出△POA的面積，則可得到四邊形ABOP的面積，再利用二次函數的性質可求得其面積最大時P點的坐標．

（1）如圖1，過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥x軸于點D，

∵△AOB為等腰三角形，

∴AO=BO，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，

∴∠AOC=∠OBD，

在△ACO和△ODB中

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∵A（2，1），

∴OD=AC=1，BD=OC=2，

∴B（-1，2）；

（2）∵拋物線過O點，

∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，

把A、B兩點坐標代入可得，解得，

∴經過A、B、O原點的拋物線解析式為y=x2-x；

（3）∵四邊形ABOP，

∴可知點P在線段OA的下方，

過P作PE∥y軸交AO于點E，如圖2，

設直線AO解析式為y=kx，

∵A（2，1），

∴k=，

∴直線AO解析式為y=x，

設P點坐標為（t，t2-t），則E（t，t），

∴PE=t-（t2-t）=-t2+t=-（t-1）2+，

∴S△AOP=PE×2=PE═-（t-1）2+，

由A（2，1）可求得OA=OB=，

∴S△AOB=AOBO=，

∴S四邊形ABOP=S△AOB+S△AOP=-（t-1）2++=，

∵-＜0，

∴當t=1時，四邊形ABOP的面積最大，此時P點坐標為（1，-），

綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點P，其坐標為（1，-）．