Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．

（1）求證：DP＝DQ；
（2）如圖，小明在圖①的基礎(chǔ)上做∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明；
（3）如圖，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PE，若AB:AP＝3:4，請(qǐng)幫小明算出△DEP的面積．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）PE＝QE．證明見(jiàn)解析；（3）△DEP的面積為.

試題分析：本題是一道幾何證明題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，試題難度不大，但要注意第（3）題中認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò).
求證DP＝DQ;只需證明△ADP≌△CDQ即可得到DP＝DQ.解題的關(guān)鍵是找出∠PDC的兩個(gè)余角相等即∠ADP ＝∠CDQ，兩三角形全等的條件就具備了.
PE＝QE．只需證明△PDE≌△QDE即可得到，由（1）的結(jié)論DP＝DQ加上DE是∠PDQ的平分線易用SAS證得結(jié)論.
（3）由AB:AP＝3:4，AB＝6可求AP＝8,BP＝2；直接由（1）和（2）的結(jié)論AP＝CQ、PE＝QE設(shè)CE＝x，則PE=8-x，利用勾股定理求得Rt△PEB的邊PE，由此可得EQ的長(zhǎng)度，這樣△DEP的面積就不難求得了.
試題解析：
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°
∵∠PDQ＝90°
∴∠ADP+∠PDC＝90°
∠CDQ+∠PDC＝90°
∠ADP＝∠CDQ
在△ADP與△CDQ中

∴△ADP≌△CDQ(ASA)
∴DP＝DQ
（2）解：PE＝QE．證明如下：
∵ DE是∠PDQ的平分線
∴∠PDE＝∠QDE
在△PDE與△QDE中

∴△PDE≌△QDE(SAS)
∴PE＝QE
（3）解：∵AB:AP＝3:4，AB＝6
∴AP＝8,BP＝2,
由（1）知：△ADP≌△CDQ 則AP＝CQ＝8
由（2）知：△PDE≌△QDE，PE＝QE
設(shè)CE＝x，則PE＝QE＝CQ-CE＝8-x
在Rt△PEB中，BP＝2,BE＝6＋x，PE＝8-x
由勾股定理得：2²＋（6＋x）²＝（8-x）²
解得：x＝
∴
∴△DEP的面積為：．