Question

【題目】如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y＝x﹣3經過點B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作PH⊥x軸于點H，交BC于點M，連接PC．

①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由；

②在點P運動的過程中，是否存在點M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，；②存在，(2，﹣3)或(3﹣，2﹣4)

【解析】

（1）由直線表達式求出點B、C的坐標，將點B、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）①根據PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+即可求解；

②分PM＝PC、PM＝MC兩種情況，分別求解即可．

解：（1）對于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，

故點B、C的坐標分別為（3，0）、（0，﹣3），

將點B、C的坐標代入拋物線表達式得：，

解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設：點M（x，x﹣3），則點P（x，x2﹣2x﹣3），

①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，故PM有最大值，當x＝時，PM最大值為：；

②存在，理由：

PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；

PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；

MC2＝（x﹣3+3）2+x2；

（Ⅰ）當PM＝PC時，則（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，

解得：x＝0或2（舍去0），

故x＝2，故點P（2，﹣3）；

（Ⅱ）當PM＝MC時，則（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，

解得：x＝0或3±（舍去0和3+），

故x＝3﹣，則x2﹣2x﹣3＝2﹣4，

故點P（3﹣，2﹣4）．

綜上，點P的坐標為：(2，﹣3)或(3﹣，2﹣4)．