Question

如圖，已知線段AB上一點O，以OB為半徑的⊙O交線段AB于C，以線段AO為直徑的半圓交⊙O于點D，過點B作AB的垂線與AD相交于點E，
（1）求證：AE切⊙O于D；
（2）求OD•OE的值；
（3）如果⊙O的半徑為r，且OD+OE=3r，求OD、OE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證明OD⊥AE即可．
（2）連接BD，證明△DCB∽△BOE，得出OD•OE=BC•BO，得出結果．
（3）由一元二次方程根與系數的關系，可知OD，OE是方程x²-3rx+2r²=0的兩根，解方程求出結果．

解答：解：（1）證明：連接OD
∵AO為半圓直徑
∴∠ADO=90°，OD⊥AE，OD為⊙O半徑
∴AE切⊙O于D

（2）連接BD
∵BC為直徑
∴∠CDB=90°
∵EB⊥AB
∴∠EBA=90°
∴∠CDB=∠EBA
∵EB、ED是⊙O的兩切線
∴EB=ED，OE平分∠BED
∴EO⊥BD
∴∠DBC=∠BEO
∴△DCB∽△BOE
∴

OD

BO

=

BC

OE

∴OD•OE=BC•BO
∴OD•OE=2r•r=2r²

（3）設以OD、OE為根的方程是x²-3rx+2r²=0（2）
∴x₁=r，x₂=2r
∵OD＜OE
∴OD=r，OE=2r

點評：綜合考查了圓與相似三角形的性質和應用，以及解一元二次方程．連接半徑是證明切線常用的輔助線的作法．