Question

【題目】直線y=x+4分別與x軸、y軸相交于點M，N，邊長為2的正方形OABC一個頂點O在坐標系的原點，直線AN與MC相交于點P，若正方形繞著點O旋轉一周，則點P到點（0，2）長度的最小值是（ ）
A.2 ﹣2
B.3﹣2
C.
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：在△MOC和△NOA中， ，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO=∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP=90°，
∴∠MPN=90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋轉的過程中，同理可證，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，

∴P在以MN為直徑的圓上，
∵M（﹣4，0），N（0，4），
∴圓心G為（﹣2，2），半徑為2 ，
∵PG﹣GC≤PC，
∴當圓心G，點P，C（0，2）三點共線時，PC最小，
∵GN=GM，CN=CO=2，
∴GC= OM=2，
這個最小值為GP﹣GC=2 ﹣2．
故選A．
首先證明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN為直徑的圓上，所以當圓心G，點P，C（0，2）三點共線時，P到C（0，2）的最小值．求出此時的PC即可．