Question

【題目】在△ABC中，P為邊AB上一點．

（1）如圖1，若∠ACP=∠B，求證：AC2=APAB；
（2）若M為CP的中點，AC=2．
①如圖2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的長；
②如圖3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴ ，

∴AC2=APAB

（2）

解：①取AP在中點G，連接MG，

設AG=x，則PG=x，BG=3﹣x，

∵M是PC的中點，

∴MG∥AC，

∴∠BGM=∠A，

∵∠ACP=∠PBM，

∴△APC∽△GMB，

∴ ，

即 ，

∴x= ，

∵AB=3，

∴AP=3﹣ ，

∴PB= ；

②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE=BP，

設BP=x．

∵∠ABC=45°，∠A=60°，

∴CH= ，HE= +x，

∵CE2= +（ +x）2，

∵PB=BE，PM=CM，

∴BM∥CE，

∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，

∵∠E=∠E，

∴△ECP∽△EAC，

∴ ，

∴CE2=EPEA，

∴3+3+x2+2 x=2x（x+ +1），

∴x= ﹣1，

∴PB= ﹣1．

【解析】（1）根據相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）①取AP在中點G，連接MG，設AG=x，則PG=x，BG=3﹣x，根據三角形的中位線的性質得到MG∥AC，由平行線的性質得到∠BGM=∠A，∵∠根據相似三角形的性質得到 ，求得x= ，即可得到結論；②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE=BP解直角三角形得到CH= ，HE= +x，根據勾股定理得到CE2= +9 +x）2根據相似三角形的性質得到CE2=EPEA列方程即可得到結論．