Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線交AC于點D，在AB的延長線上截取BE，使BE＝CD，連接DE交BC于點F．

（1）如圖1，當∠CAB＝60°時，若AB＝2，求DE的長度；

（2）如圖2，當∠CAB≠60°時，求證：BE＝2BF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．在Rt△DEH中，求出DH、EH，利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖2中，作DH∥AB交BC于H，連接EH．只要證明四邊形DBEH是平行四邊形，再證明BH=BE，即可解決問題．

試題解析：解：（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．

∵AC=AB，∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=2，∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴AD=DC=1．在Rt△ADH中，∵∠ADH=30°，AD=1，∴AH=，DH=．∵BE=CD=1，∴EH=BH+BE=．在Rt△DHE中，DE===．

（2）如圖2中，作DH∥AB交BC于H，連接EH．

∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DH∥AB，∴∠DHC=∠ABC=∠C，∴DH=DC．∵DC=BE，∴四邊形DBEH是平行四邊形，∴FH=FB，BD∥EH，∴∠BHE=∠DBH，∠DBA=∠BEH．∵∠DBA=∠DBC，∴∠BHE=∠BEH，∴BH=BE，∴BE=2BF．