Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），線段BC與拋物線的對稱軸相交于點P．M、N分別是線段OC和x軸上的動點，運動時保持∠MPN=90°不變．連結MN，設MC=m．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）用含m的代數式表示△PMN的面積S，并求S的最大值；
（3）以PM、PN為一組鄰邊作矩形PMDN，當此矩形全部落在拋物線與x軸圍成的封閉區域內（含邊界）時，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）作PE⊥y軸于點E，設拋物線的對稱軸與x軸相交于點F，
易得拋物線的對稱軸為直線x=1，直線BC的解析式為y=x-3，
∴P（1，-2），
∴E（0，-2），ME=|m-1|，
∴，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△MPE∽△NPF，
∴，
∴PN=2PM，
∴，
∵0≤m≤3，
∴當m=3時，S有最大值，最大值是5；

（3）①當點D在x軸上時，點D、M顯然分別與點O、E重合，
此時，m=1；
②當點D在拋物線上時（如圖2），作DG⊥x軸于點G，
∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠DNG+∠PNF=90°，∠NPF+∠PNF=90°，
∴∠DNG=∠NPF，
∴∠MPE=∠DNG，
在△MPE和△DNG中，
，
∴△MPE≌△DNG（AAS），
∴DG=ME=1-m，NG=PE=1，
由（2）得：，故NF=2ME=2-2m，
∴OG=1-ON=NF=2-2m，
∴D（2m-2，m-1），
代入拋物線解析式得：m-1=（2m-2）²-2（2m-2）-3，
整理得：4m²-13m+6=0，
解得：，（不合題意，舍去），
∴時，點D恰好在拋物線上，
∴當時，此矩形全部落在拋物線與x軸圍成的封閉區域內．
分析：（1）將A、B、C三點坐標代入拋物線解析式，可得出a、b、c的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）作PE⊥y軸于點E，設拋物線的對稱軸與x軸相交于點F，先求出直線BC解析式，確定點P的坐標，在Rt△PME中表示出PM，證明△MPE∽△NPF，利用對應邊成比例得出PN的表達式，繼而可得出S關于m的表達式，再由m的取值范圍，可得出S的最大值；
（3）找到兩個極值點，①點D在x軸上，此時很容易得出m=1；②點D在拋物線上，作DG⊥x軸于點G，證明△MPE≌△DNG，得出DG=ME=1-m，NG=PE=1，由（2），得出NF=2ME=2-2m，則可得到OG=1-ON=NF=2-2m，得出點D的坐標，代入拋物線解析式得出m的值，綜合起來可得出m的取值范圍．
點評：本題是二次函數的綜合題型，涉及了待定系數法求二次函數解析式、動點問題、根據邊界點確定動取值范圍，解答本題需要一定的耐心及對基礎知識的熟練掌握，同學們要注意培養自己解答綜合題的能力，做到將所學知識點融會貫通．