Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在y正半軸上，OC在x正半軸上，點D是線段OC上一點，過點D作DE⊥AD交直線BC于點E，以A、D、E為頂點作矩形ADEF．
（1）求證：△AOD∽△DCE；
（2）若點A坐標為（0，4），點C坐標為（7，0）．
①當點D的坐標為（5，0）時，拋物線y=ax²+bx+c過A、F、B三點，求點F的坐標及a、b、c的值；
②若點D（k，0）是線段OC上任意一點，點F是否還在①中所求的拋物線上？如果在，請說明理由；如果不在，請舉反例說明；
（3）若點A的坐標是（0，m），點C的坐標是（n，0），當點D在線段OC上運動時，是否也存在一條拋物線，使得點F都落在該拋物線上？若存在，請直接用含m、n的代數式表示該拋物線；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，以及∠OAD=∠EDC，即可得出△AOD∽△DCE；
（2）由△AOD∽△DCE，得出CE=

5

2

，CD=2，進而求HF的長，利用A（0，4）、F（2，

13

2

）、B（7，4），求出二次函數解析式；
（3）根據②式中y=-

1

4

k2+

7

4

k+4，直接將A，C點的坐標代入即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC，
∴△AOD∽△DCE；

（2）解：①過F作FH⊥OC交OC于H，交AB于N，
由題意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE，
∴

OD

CE

=

AO

CD

，
即

5

CE

=

4

2

，
∴CE=

5

2

，CD=2
∵四邊形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠OAD=∠BAF，
∴∠EDC=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC，
∴AN=DC=2，FN=EC=

5

2

，
∴FH=

13

2

∴F點的坐標是（2，

13

2

），
由A（0，4）、F（2，

13

2

）、B（7，4），
得

c=4 13 2 =4a+2b+c 4=49a+7b+c

，
解得

a=- 1 4 b= 7 4 c=4

，
∴過A、F、B三點的拋物線的表達式為：y=-

1

4

x2+

7

4

x+4；

②點F在①中所求的拋物線上．
理由是：由（2）中①可知，
拋物線的表達式為：y=-

1

4

x2+

7

4

x+4，
當D（k，0）時，則DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k，4+

k(7-k)

4

），
將x=7-k代入y=-

1

4

x2+

7

4

x+4得，y=-

1

4

k2+

7

4

k+4，
又4+

k(7-k)

4

=-

1

4

k2+

7

4

k+4
所以點F在①中所求的拋物線上．

（3）解：存在一條拋物線，使得點F都落在該拋物線上．
該拋物線的表達式為：y=-

1

m

x2+

n

m

x+m．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質，主要考查學生數形結合的數學思想方法，是一道難度較大的二次函數題，綜合考查了三角形相似的性質．