Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．

①寫出點M′的坐標；

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=，當m=時，S取得最大值；（3）①M′（，）；②45°．

【解析】

試題分析：（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值；

（2）設M的坐標為（m，），然后根據面積關系將△ABM的面積進行轉化；

（3）①由（2）可知m=，代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值；

②可將求d1+d2最大值轉化為求AC的最小值．

試題解析：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數解析式為：；

（2）令y=0代入，∴，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，∵M在拋物線上，且在第一象限內，∴0＜m＜3，令y=0代入y=﹣3x+3，∴x=1，∴A的坐標為（1，0），由題意知：M的坐標為（m，），S=S四邊形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB=×m×3+×1×（）﹣×1×3=，∵S==，∴當m=時，S取得最大值．

（3）①由（2）可知：M′的坐標為（，）；

②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，根據題意知：d1+d2=BF，此時只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點F在以BM′為直徑的圓上，設直線AM′與該圓相交于點H，∵點C在線段BM′上，∴F在優弧上，∴當F與M′重合時，BF可取得最大值，此時BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過點M′作M′G⊥AB于點G，設BG=x，∴由勾股定理可得：，∴，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°；

方法二：過B點作BD垂直于l′于D點，過M點作ME垂直于l′于E點，則BD=d1，ME=d2，∵S△ABM=×AC×（d1+d2），當d1+d2取得最大值時，AC應該取得最小值，當AC⊥BM時取得最小值．

根據B（0，3）和M′（，）可得BM′=，∵S△ABM=×AC×BM′=，∴AC=，當AC⊥BM′時，cos∠BAC===，∴∠BAC=45°．