Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（m＜0）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），該拋物線的對稱軸與直線相交于點E，與x軸相交于點D，點P在直線上（不與原點重合），連接PD，過點P作PF⊥PD交y軸于點F，連接DF．

（1）如圖①所示，若拋物線頂點的縱坐標為，求拋物線的解析式；

（2）求A、B兩點的坐標；

（3）如圖②所示，小紅在探究點P的位置發現：當點P與點E重合時，∠PDF的大小為定值，進而猜想：對于直線上任意一點P（不與原點重合），∠PDF的大小為定值．請你判斷該猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60°．

【解析】

試題分析：（1）先提取公式因式將原式變形為，然后令y=0可求得函數圖象與x軸的交點坐標，從而可求得點A、B的坐標，然后依據拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為x=﹣2，故此可知當x=﹣2時，y=，于是可求得m的值；

（2）由（1）的可知點A、B的坐標；

（3）先由一次函數的解析式得到∠PBF的度數，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，證明點O、D、P、F共圓，最后依據圓周角定理可證明∠PDF=60°．

試題解析：（1）∵，∴=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，∴A（﹣5，0）、B（1，0），∴拋物線的對稱軸為x=﹣2．∵拋物線的頂點坐標為為，∴﹣9m=，∴m=，∴拋物線的解析式為；

（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）；

（3）∠PDF=60°．理由如下：

如圖所示，∵OP的解析式為，∴∠AOP=30°，∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD，∴∠DPF=∠FOD=90°，∴∠DPF+∠FOD=180°，∴點O、D、P、F共圓，∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°．