Question

【題目】在△ABC中，點O是邊AC的中點，分別過點A、C作射線BO的垂線，E、F是垂足．

　　

（1）如圖1，求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如圖2，若，，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CF=2．

【解析】

（1）根據AAS先證明△AOE≌△COF，從而得出EO=FO，結合AO=CO即可得出結論；

（2）先根據已知求出AO，CO的長，過點B作BH⊥AC于點H，在Rt△BCH中，根據，結合勾股定理可得出BH，CH的長，進而可求出HO的長．再在Rt△BOH中，可得出tan∠BOH=，從而在Rt△AEO中，tan∠AOE=tan∠BOH=，結合AO的長，可以求出AE的長，由CF=AE可得出結果．

（1）證明：∵O為AC的中點，∴AO=CO．

又AE⊥BO，CF⊥BO，∴∠AEO=∠CFO=90°，

又∠AOE=∠FOC，∴△AOE≌△COF（AAS），

∴EO=FO，

又AO=CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：∵AC=BC，

∴AO=CO=AC=．

過點B作BH⊥AC于點H，

在Rt△BCH中，tan∠BCH=，

設BH=3x，則CH=4x，∴BC==5x=，

∴x=，∴BH=，CH=，

∴HO=HC-OC=，

在Rt△BOH中，tan∠BOH=，

在Rt△AEO中，tan∠AOE=tan∠BOH=，

設OE=y，則AE=2y，AO=，

∴y=1，∴AE=2，

又由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，

∴CF=AE=2．