Question

【題目】如圖所示，平行四邊形內有兩個全等的正六邊形，若陰影部分的面積記為，平行四邊形的面積記為,則的值為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如解圖所示：延長EN交BC于點F，過點E作EP⊥BC于P，過點F作FQ⊥MN于Q，過點A作AD⊥BC于D，由圖可知，圖中兩個陰影部分面積相等，證出△BEF為等邊三角形，四邊形NFGM為菱形，求出等邊三角形的邊長、菱形的邊長和平行四邊形的邊長，利用銳角三角函數求出等邊三角形的高、菱形的高和平行四邊形的高，即可求出結論．

解：如下圖所示，延長EN交BC于點F，過點E作EP⊥BC于P，過點F作FQ⊥MN于Q，過點A作AD⊥BC于D，

∵平行四邊形內有兩個全等的正六邊形，設正六邊形的邊長為a

∴∠AEN=∠A=∠ENM=∠MGC=120°，NM∥BC，AE=EN=NM=MG=a

∴∠B=180°－∠A=60°，∠FNM=180°－∠ENM =60°，∠BEF=180°－∠AEN=60°，∠NFG=∠ENM=120°=∠MGC

∴∠B=∠BEF=60°，∠EFB=180°－∠NFG=60°，NF∥MG，

∴△BEF為等邊三角形，四邊形NFGM為菱形

∴NF=MG=a，

∴BE=BF=EF=EN＋NF=2a，AB=AE＋BE=3a，BC=BF＋FG＋GC=4a

∴EP=BE·sin∠B=，AD=AB·sin∠B=，FQ=NF·sin∠FNM=

由圖可知，圖中兩個陰影部分面積相等

∴=2（S△BEF＋S菱形NFGM）

=2（BF·EP＋NM·FQ）

=2（×2a×＋a·）

=

=BC·AD=4a×=

∴

故答案為：．