Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的長；

（3）若CD＝CE，則直線CD是以點E為圓心，AE長為半徑的圓的切線．試證明之．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）詳見解析

【解析】

（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠DEC（平行線的內錯角），而∠AFD和∠C是等角的補角，由此可判定兩個三角形相似；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的長，從而根據相似三角形的對應邊成比例求出AF的長；

（3）過點E作EH⊥DC，交DC的延長線于點H，根據等邊對等角可得∠CED＝∠CDE，利用等量代換可得∠ADE＝∠CDE，利用AAS證出△ADE≌△HDE，從而證出AE＝HE，最后根據切線的判定定理即可證出結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，

∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，

∴∠AFD＝∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，

∴DE＝＝＝6，

由（1）知△ADF∽△DEC，

得，

∴AF＝＝＝2．

（3）過點E作EH⊥DC，交DC的延長線于點H．

∵CD＝CE，

∴∠CED＝∠CDE．

∵∠ADE＝∠CED，

∴∠ADE＝∠CDE．

又∵∠EAD＝∠EHD＝90°，

在△ADE和△HDE中，

∴△ADE≌△HDE，

∴AE＝HE，

∴直線CD是以點E為圓心，AE長為半徑的圓的切線．