Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度數；

（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關系，并說明理由；

（3）在（2）條件下過E，F分別作AB，BC的垂線，垂足分別為G，H，連接GH，交BO于M，若AG＝3，S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由見解析；（3）6

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為直角及等腰三角形的性質和互余關系可得答案；

（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關系為：EA2+CF2=EF2．如圖2，設∠ABE=α，∠CBF=β，先證明α+β=45°，再過B作BN⊥BE，使BN=BE，連接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，將相關線段代入即可得出結論；

（3）如圖3，延長GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，變形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四邊形COMH，S△BMH=S四邊形AGMO，結合已知條件S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9，設BG=9k，BH=8k，則CH=3+k，求得AE的長，用含k的式子表示出CF和EF，將它們代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，則可求得答案．

解：（1）如圖1，

∵AC為直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關系為：EA2+CF2＝EF2．理由如下：

如圖2，設∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，

∴∠EBF＝∠ADB＝45°，

又∠ABC＝90°，

∴α+β＝45°，

過B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，

∴∠FCN＝90°．

∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，

∴△BFE≌△BFN（SAS），

∴EF＝FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，

∴EA2+CF2＝EF2；

（3）如圖3，延長GE，HF交于K，

由（2）知EA2+CF2＝EF2，

∴EA2+CF2＝EF2，

∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五邊形BGEFH＝S△EFK+S五邊形BGEFH，

即S△ABC＝S矩形BGKH，

∴S△ABC＝S矩形BGKH，

∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，

∴S△BGM＝S四邊形COMH，S△BMH＝S四邊形AGMO，

∵S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，

∴S△BMH：S△BGM＝8：9，

∵BM平分∠GBH，

∴BG：BH＝9：8，

設BG＝9k，BH＝8k，

∴CH＝3+k，

∵AG＝3，

∴AE＝3，

∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），

∵EA2+CF2＝EF2，

∴，

整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，

解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．

∴AB＝12，

∴AO＝AB＝6，

∴⊙O的半徑為6．