Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．延長PD交圓的切線BE于點E．

（1）證明：直線PD是⊙O的切線；

（2）如果∠BED=60°，PD=，求PA的長；

（3）將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF，點F正好在圓O上，如圖2，求證：四邊形DFBE為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）見解析

【解析】

（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，再利用角度的相互轉換求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，結合勾股定理可得出PO，最后根據PA=PO-AO可得出結果；
（3）根據折疊和已知求出∠P=∠PBF，根據平行線的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根據菱形的判定推出即可．

（1）證明：如圖1，連接OD，

∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，

∵點D在⊙O上，

∴直線PD為⊙O的切線．

（2）解：∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，∴∠P=30°，

∵PD為⊙O的切線，∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，

∴，解得OD=1，

∴，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1．

（3）證明：如圖2中，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，

∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠AFD=∠PBD，
∴∠ADF=∠AFD=∠APD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，即BF∥DE．
又∠DAB+∠DBA=90°，∴∠DAB+∠ADF=90°，

∴DF⊥PB．
∵BE為切線，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四邊形DFBE為平行四邊形，
∵PE、BE為切線，
∴BE=DE，
∴四邊形DFBE為菱形．