Question

把兩塊全等的等腰直角△ABC和△DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q也與B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=______；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，0°＜α＜45°，如圖2．問AP•CQ的值是多少？說明你的理由；
（3）將三角板DEF由圖2所示的位置繞點O繼續(xù)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，即45°＜α≤90°時，如圖3．問AP•CQ的值又是多少？說明你的理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=6，
∴AD=CD=3，
∴AP×CQ=AD×CD=18；
故答案為：18．

（2）AP•CQ的值是18
證明：在△APD與△CDQ中，
∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α），
=90°-α，
而∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ，
∴，
∴AP•CQ=AD•CD，
∵AD=CD=，
而AC=6，
∴AP•CQ=3•3
=18．

（3）同理可說明
AP•CQ=18．
分析：（1）可通過證△APD∽△CDQ來求解．
（2）不會改變，關(guān)鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關(guān)鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉(zhuǎn)而得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結(jié)論不變．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，有一定難度，要對各部分知識都要熟練掌握．