Question

操作與探究：
把兩塊全等的等腰直角△ABC和△DEF疊放在一起，使△DEF的頂點E與△ABC的斜邊中點O重合，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，將△ABC固定不動，讓△DEF繞點O旋轉．設射線ED與射線CA相交于點P，射線EF與射線AB相交于點Q．
（1）如圖①，當射線EF經過點A，即點Q與點A重合時，試說明△COP∽△BAO，并求CP•BQ值．
（2）如圖②，若△DEF繞點O逆時針旋轉，當旋轉角小于45°時，問CP•BQ的值是否改變？說明你的理由．
（3）若△DEF繞點O逆時針旋轉，當旋轉角大于45°而小于90°時，請在圖③中畫出符合條件的圖形，并寫出CP•BQ的值．（不用說明理由）

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質證得△COP∽△BAO，并由相似三角形的對應邊成比例來求CP•BQ值；
（2）、（3）不會改變，關鍵是還是證△COP∽△BQO，已知了一組45°角，關鍵是證（1）中的∠OPC=∠QOB，由于圖2由圖1旋轉而得，根據旋轉的性質可設旋轉角為α，那么∠COP=45°+α，∠BQO=45°+α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結論不變．

解答：（1）解：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠F=∠FED=45°．
∵△ABC是等腰直角三角形，點O是斜邊BC的中點，
∴∠BAO=∠FOD=45°，∠AOB=90°，
∴AB∥OD，
∴∠OPC=∠AOB=90°，
∴△COP∽△BAO，
∴CP：BO=CO：BA，即CP：BO=CO：BQ，
∴CP•BQ=BO×CO，
∵AB=AC=4，
∴BE=CE=2

2

，
∴CP•BQ=BO×CO=2

2

×2

2

=8；

（2）CP•BQ的值是8．
證明：在△COP與△BQO中，
∠C=∠B=45°，∠COP=45°+α，而∠BQO=180°-45°-（90°-α）=45°+α，
∴∠COP=∠BQO，
∴△COP∽△BQO，
CP：BO=CO：BQ，
∴CP•BQ=BO×CO，
∵AB=AC=4，
∴BE=CE=2

2

，
∴CP•BQ=BO×CO=2

2

×2

2

=8；

（3）解：如圖，同理可說明
CP•BQ=8．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質以及旋轉的性質等知識的綜合應用，有一定難度，要對各部分知識都要熟練掌握．