Question

銳角為45°的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形．我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板．把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊BC、FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合．
（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（1）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）BQ=AP，BQ⊥AP．
證明：延長BQ交AP于點M，
∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，
∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，
∴∠BCQ=∠ACP=90°，∠CQP=∠EPF=45°，
∴CQ=CP，
在△BCQ和△ACP中，，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP，∠CBQ=∠CAP，
∵∠BCQ=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠BQC=∠AQM（對頂角相等），
∴∠CAP+∠AQM=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BQ⊥AP；