Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCD的頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點D在x軸的負半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=
（1）求直線AB的解析式；
（2）若動點P從點A出發，以每秒5個單位長的速度沿著線段AB向終點B運動；同時動點Q從點D出發，以每秒4個單位長的速度沿著線段DA終點A運動，過點Q作QH⊥AB，垂足為點H，當一點到達終點時，另一的也隨之停止運動．設線段朋的長度為y，點P運動時間為t，求y與t的函數關系式；（請直接寫出自變量t的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對應線段為A’P，當t為何值時，A’P∥CD，并通過計算說明，此時以為半徑的ΘP與直線QH的位置關系．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠C=∠CDB，
∴BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=10，
在△BDO中，設OD=a，則OB=3a，
在Rt△ABO中，（10-a）²+（3a）²=10²，
∴a=2，a=0（舍去），
∴點A、B的坐標分別是（8，0），（0，6），
設直線AB的解析式是y=kx+b，∴，
解得：k=-，b=6，
∴直線AB的解析式是y=-x+6．

（2）由題意得：DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，
cos∠PAO===，
在Rt△AQH中，=，
∴AH=（10-4t），
當P與H重合時，cos∠QAH=cos∠QAP===，
解得：t=，
①0≤t＜，y=PH=AH-AP=（10-4t）-5t=t+8；
②＜t≤2，y=AP-AQ=T-8；
綜合上述：求得的解析式是．

（3）如圖1，當0≤t＜時，延長A′P與x軸交于點K，
∵A′P∥CD，
∴∠AKP=90°，
在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，
QK=AQ-AK=10-4t-4t=10-8t，
在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，
∴AP=5t，
tan∠QA′K===，
∴t=，此時，y=-×+8=，
此時等于⊙P的半徑，
所以⊙P和直線相切；
當＜t≤2時，點A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點K，
同理可求得：KQ=8t-10，
sin∠A′=sin∠BAC==，
∴t=，
此時y=×-8=＞，
所以⊙P與直線相離．
分析：（1）根據平行線性質和梯形性質求出BA=AD，設OD=a，根據勾股定理得出（10-a）²+（3a）²=10²，求出a，得出A、B的坐標，設直線AB的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（2）求出DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，根據銳角三角函數求出=，求出AH的值，當P與H重合時，根據cos∠QAP=，求出t，①0≤t＜，根據y=PH=AH-AP代入求出y；②＜t≤2，根據y=AP-AQ代入求出y；
（3）當0≤t＜時，根據平行線和銳角三角函數cos∠QA′K=，代入求出t，求出y，根據直線和圓的位置關系求出即可；當＜t≤2時，點A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點K，同理可求得t，根據直線和圓的位置關系求出即可．
點評：本題考查了對直線與圓的位置關系，勾股定理，平行線的性質，直角梯形，翻折變換，銳角三角函數等知識點的應用，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求，通過做此題培養了學生綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力．