Question

如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM⊥BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F。試判斷△DEF的形狀，并加以證明。
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經歷說明⑴的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明。 ①畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉90°后圖形；
②點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）。
附加題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明理由。

圖1                                          圖2                                                      圖3

Answer 1

解：△DEF是等腰三角形。 證明：如圖，過點C作CP⊥AC，交AN延長線于點P， ∵Rt△ABC中AB=AC， ∴∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP　　　　　　　　　　　　 ∵AM⊥BD， ∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90° ∴∠ABD=∠CAP　　　　　　　　　　 ∴△BAD≌△ACP　　　　　　　　 ∴AD=CP，∠ADB=∠P　　　　　　 ∵AD=CE， ∴CE=CP　　　　　　　　 ∵CN=CN　　　　　　　　　　　　 ∴△CPN≌△CEN　　　　　　　　　 ∴∠P=∠CEN， ∴∠CEN=∠ADB， ∴∠FDE=∠FED　 ∴△DEF是等腰三角形。 附加題：△DEF為等腰三角形證明： 過點C作CP⊥AC，交AM的延長線于點P， ∵Rt△ABC中AB=AC， ∴∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴∠PCN=∠ACB=∠ECN　　　　　　　　　　　　　 ∵AM⊥BD， ∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°， ∴∠ABD=∠CAP， ∴△BAD≌△ACP　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AD=CP，∠D=∠P， ∵AD=EC，CE=CP， 又∵CN=CN， ∴△CPN≌△CEN　　　　　　　　　　　 ∴∠P=∠E， ∴∠D=∠E， ∴△DEF為等腰三角形。