Question

（2012•和平區二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AM為∠BAC的平分線，CM=2BM．下列結論：
①tan∠MAC=

2

2

；②點M到AB的距離是4；③

AC

CM

=

BC

CA

；④∠B=2∠C；⑤

CM

AB

=

2

，
其中不正確結論的序號是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：①利用特殊角的三角函數值來解答；
②通過作輔助線MD、MN構造正方形ADMN，相似三角形△CNM∽△CAB，然后利用正方形的性質、相似三角形的對應邊成比例求得DM，即點M到AB的距離；
③利用角平分線定理和勾股定理求得AC=12，BC=6

5

，然后由已知條件來證明

AC

CM

=

BC

CA

是否成立；
④由③中的直角△ABC的三邊的長度、三角形內角和定理，利用反證法來證明∠B=2∠C是否成立；
⑤由③中的直角△ABC的三邊的長度來求

CM

AB

的值．

解答：解：如圖所示：過點M作MN∥AB于點N、MD∥AC于點D．則四邊形ADMN是矩形．
①tan∠MAC=tan45°=1；
故本選項錯誤；
②∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AM為∠BAC的平分線，
∴∠NAM=45°，
∴∠NMA=45°，
∴∠NAM=∠NMA，
∴AN=MN．
∴矩形ADMN是正方形．
∵△CNM∽△CAB，
∴

MN

AB

=

MC

BC

．
又∵AB=6，CM=2BM，
∴MN=4，
∴DM=MN=4，即點M到AB的距離是4；
故本選項正確；
③∵AM為∠BAC的平分線，AB=6，CM=2BM，
∴

AC

AB

=

CM

BM

，即

AC

6

=2，
解得，AC=12．
則在Rt△ABC中，由勾股定理知，BC=

AB2+AC2

=

62+122

=6

5

，
∴

AC

CM

=

AC

2 3 BC

=

3

2

×

12

6 5

=

3 5

5

，

BC

CA

=

6 5

12

=

5

2

，
∵

3 5

5

≠

5

2

，
∴

AC

CM

≠

BC

CA

；
故本選項錯誤；
④若∠B=2∠C時，∠C=30°，則BC=2AB=12，這與BC=6

5

相矛盾；故本選項錯誤；
⑤∵BC=6

5

，CM=2BM，
∴CM=

2

3

BC=4

5

，
∴

CM

AB

=

4 5

6

=

2 5

3

；
故本選項錯誤；
綜上所述，錯誤的說法是：①③④⑤；
故答案是：①③④⑤．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，角平分線的性質以及特殊角的三角函數值．已知一條直線平行于三角形的一邊，與另兩邊（或延長線）相交形成的三角形與原三角形相似，且相似三角形的對應邊成比例．