Question

【題目】如圖，以正方形ABCD的邊AD為一邊作等邊三角形ADE，F是DE的中點，BE、AF相交于點G，連接DG，若正方形ABCD的面積為36，則BG=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接BD，由題意得正方形ABCD和等邊三角形ADE的邊長都為6，∠BAE=150°，因為AB=AD=AE，所以∠AEB=15°，則∠DEG=45°，再根據等邊三角形的性質得DG=EG，即△DFG為等腰直角三角形，求得DG的長，然后根據勾股定理即可得到BG的長.

解：如圖所示，連接BD，

∵S正方形ABCD=36，

∴AD=6，BD=6，

在正方形ABCD和等邊△ADE中，

∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AD=AE，

∴∠AEB=（180°﹣∠BAE）=（180°﹣150°）=15°，

∴∠DEG=∠AED﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，

∵F為DE的中點，

∴AF垂直平分DE，DF=DE=×6=3，

∴DG=EG，

∴∠GDE=45°，

∴△DFG是等腰直角三角形，

∴DG=DF=3，∠DGE=90°，

∴Rt△BDG中，BG===3．

故答案為3．