Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋2的圖像與y軸交于C點，交x軸于點A（－2，0)，B（6，0）.

⑴ 求該二次函數的表達式；

⑵ P是該函數在第一象限內圖像上的動點，過點P作PQ⊥BC于點Q，連接PC、AC.

① 求線段PQ的最大值；

② 若以點P、C、Q為頂點的三角形與△ACO相似，求P點的坐標.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①PQ的最大值= ，② P點的坐標為：P1（4，2），P2

【解析】分析：(1)把點A，B的坐標代入到二次函數的解析式中求解；(2)過點P作PD⊥x軸于點N交BC于點M，P點坐標為，用t表示出點M，根據二次函數的性質求PM的最大值，再結合三角形相似求PQ的最大值；(3)分兩種情況畫出圖形，根據平行線或相似三角形求解.

詳解：⑴∵y＝ax2＋bx＋的圖像過點A(－2，0)，B(6，0).

∴解之得：；

∴所求二次函數的表達式為：.

⑵①設P點坐標為：，且0＜t＜6，

令x＝0，則y＝4，∴C(0，2).

設BC的表達式為：

y＝mx＋n(m≠0)過B(6，0)，C(0，)，

，解之得：，∴BC的表達式為：，

過點P作PD⊥x軸于點N交BC于點M，(如圖1)

∴點M的橫坐標為t，∴它的縱坐標為，

∴M.

PM＝yP－yM＝，

∵x軸⊥y軸，PQ⊥BC，PD⊥x軸.

∴∠AOC＝∠COB＝∠CQP＝∠PQM＝∠MDB＝90°，

又∵AO＝2，OB＝8，CO＝4，

∴，∴△OAC∽△OCB，∴∠ACO＝∠CBO＝∠MPQ，

∴△OAC∽△OCB∽△DMB∽△QMP.

∵，

∴cos∠MPQ＝cos∠ACO＝.

∵cos∠MPQ＝，

∴.

∵a＜0，且t＝3的值在0＜t＜6的范圍內，

∴當t＝3時，PQ的最大值＝.

②(ⅰ)當△QPC∽△OAC時，(如圖2)

則∠ACO＝∠CBA＝∠PCQ，

∴PC∥x軸，

由拋物線的對稱性知：點C與點P關于拋物線的對稱軸對稱，

∴P點的坐標為(4，).

(ⅱ)當△QCP∽△OAC時，(如圖3)

則∠CAO＝∠PCQ，

∴tan∠CAO＝tan∠PCQ，

過點B作BD⊥BC交CP的延長線于點D，

再過點D作DE⊥x軸于點E，

則△OBC∽△EDB，

∴，

∴BE＝CO＝×2＝6，∴OE＝OB＋BE＝12，

DE＝BO＝×6＝6，∴點D的坐標為(12，6).

設直線CD的表達式為y＝ex＋f，且過點C(0，)，D(12，6)，

∴，解得，.

∴直線CD的表達式為：，

∴P坐標是方程組的解，

解之得：(舍)，

∴點P的坐標為().

綜上所述：P點的坐標為：P1(4，)，P2().