Question

【題目】拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，且．直線與拋物線交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線的頂點，設直線上方的拋物線上的動點的橫坐標為．

（1）連接，求證：四邊形是平行四邊形；

（2）連接，，當為何值時？

（3）在直線上是否存在一點，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）0或1；（3）存在，或

【解析】

（1）分別求出點A，B，E的坐標，設拋物線的解析式為交點式，代入點C的坐標，求出拋物線的解析式，進而可求出CQ的長和直線CQ的解析式，同時求出AE的長和AE的解析式，推出，CQ∥AE即可證得四邊形是平行四邊形；

（2）根據題意將△APD的面積和△DAB的面積表示出來，令其相等，即可解出m的值；

（3）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三種情況，分別求解即可．

解：（1）證明：連接，，如圖所示，直線與拋物線交于點，則點，點．∵，，∴點的坐標為，

設拋物線的表達式為，將點的坐標代入，得，

解得，∴拋物線的表達式為，

∴拋物線的對稱軸為直線，故點的坐標為．∴，

的解析式為，又∵，直線的解析式為，

∴，CQ∥AE，∴四邊形是半行四邊形．

（2）∵，∴，，∴點的坐標為．

如圖1，過點作軸的平行線，交于點，設點，則點，

∴，

解得或1．

（3）存在，點的坐標為或或．

設點，點，，而點，

①當時，如圖2，過點作軸的平行線，過點，點作軸的平行線，交過點且平行于軸的直線于點，，

∵，，

∴，∵，，

∴，∴，，

即，，解得．當時，，解得，（舍去）∴點．

②當時，如圖3所示，

同理可得，（舍去），故點坐標為．

③當時，如圖4所示，

同理可得，解得（舍去），．點．

綜上可得，點的坐標為或．