Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°．BE平分∠ABC交AC于點D，交△ABC的外接圓于點E，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F．請補全圖形后完成下面的問題：

（1）求證：EF是△ABC外接圓的切線；

（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）6

【解析】

（1）根據已知條件得到△ABC的外接圓圓心O是斜邊AB的中點．連接OE，根據等腰三角形的性質和角平分線的定義得到∠1=∠3．求得OE∥BF．于是得到結論；
（2）根據三角函數的定義得到．根據勾股定理得到AC=12．根據矩形的性質即可得到結論．

（1）補全圖形如圖所示，

∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圓圓心O是斜邊AB的中點．
連接OE，
∴OE=OB．
∴∠2=∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴OE∥BF．
∵EF⊥BF，
∴EF⊥OE，
∴EF是△ABC外接圓的切線；
（2）在Rt△ABC中，BC=5，sin∠ABC=，
∴．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=12．
∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°，
∴四邊形CFEH是矩形．
∴EF=HC，∠EHC=90°．
∴EF=HC=AC=6．