Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C均在坐標軸上，且OA=4，OC=3，動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；動點N從點C出發沿CB向終點B以同樣的速度移動，當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，過點N作NP⊥BC于點P，連接MP．

（1）直接寫出點B的坐標，并求出點P的坐標（用含x的式子表示）；

（2）設△OMP的面積為S，求S與x之間的函數表達式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個動點運動的過程中，是否存在某一時刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B點坐標為（4，3）．點P的坐標為（x，x）；（2）當x=2時，S有最大值，最大值為；(3) M的坐標為（，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性質，得出B點坐標，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形對應邊成比例得出P點坐標；

（2）利用PG以及OM的長表示出△OMP的面積，再根據二次函數的性質求出最大值即可；

（3）△OMP是等腰三角形時，分三種情況：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．畫出圖形，分別求出即可．

試題解析：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴B點坐標為（4，3）．

如圖，延長NP，交OA于點G，則PG∥AB，OG=CN=x．

∵PG∥AB，

∴△OPG∽△OBA，

∴，即，解得PG=x，

∴點P的坐標為（x，x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM邊上的高為x，

∴S=（4-x）x=-x2+x，

∴S與x之間的函數表達式為S=-x2+x（0＜x＜4）．

配方，得S=-（x-2）2+，

∴當x=2時，S有最大值，最大值為；

（3）存在某一時刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：

①如備用圖1，

若PO=PM，則OG=GM=CN=x，

即3x=4，解得：x=，

所以M（，0）；

②如備用圖2，

若OP=OM，則=OM，

即x=4-x，解得：x=，

所以M（，0）；

③如備用圖3，

若OM=PM時，

∵PG=x，GM=OM-OG=（4-x）-x=4-2x，

∴PM2=PG2+GM2=（x）2+（4-2x）2，

∵OM=4-x，

∴（4-x）2=（x）2+（4-2x）2，解得：x=，

所以，M（，0）．

綜上所述，M的坐標為（，0）或（，0）或（，0）．