Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，-

3

），點B在x軸上．已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1，點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點F．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）若設點P的橫坐標為m，用含m的代數式表示線段PF的長；
（3）求△PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：此題文字比較多，而且圖象也比較復雜，所以解題時需要理解題意．
（1）可以采用待定系數法求二次函數的解析式，因為點A（-1，0）、C（0，-

3

）在函數圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點B的坐標為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）先求得直線BC的解析式為y=

3

3

x-

3

，則可求得點F的坐標為(m，

3

3

m-

3

)，再求得點P的縱坐標為

3

3

m2-

2 3

3

m-

3

，可得線段PF的長；
（3）利用面積和，△PBC的面積S=S△CPF+S△BPF=

1

2

PF•BO即可求得．

解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數），
由拋物線的對稱性知B點坐標為（3，0），
依題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，（1分）
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=- 3

，（2分）
∴所求二次函數的解析式為y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

；（3分）

（2）∵P點的橫坐標為m，
∴P點的縱坐標為

3

3

m2-

2 3

3

m-

3

，（4分）
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數），
依題意，得

3k+b=0 b=- 3

，
∴

k= 3 3 b=- 3

，
故直線BC的解析式為y=

3

3

x-

3

，（5分）
∴點F的坐標為(m，

3

3

m-

3

)，
∴PF=-

3

3

m2+

3

m(0＜m＜3)；（6分）

（3）∵△PBC的面積S=S△CPF+S△BPF=

1

2

PF•BO=

1

2

×(-

3

3

m2+

3

m)×3=-

3

2

(m-

3

2

)2+

9 3

8

，
∴當m=

3

2

時，△PBC的最大面積為

9 3

8

，（8分）
把m=

3

2

代入y=

3

3

m2-

2 3

3

m-

3

，
得y=-

5 3

4

，
∴點P的坐標為(

3

2

，-

5 3

4

)．（10分）

點評：此題考查了學生的綜合應用能力，要注意數形結合，認真分析，仔細識圖．注意待定系數法求函數的解析式，注意函數交點坐標的求法，注意三角形面積的求法．