Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F分別在BC，AB上，點M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．

（1）求證：DE⊥DM；

（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）四邊形CENF是平行四邊形，理由見解析.

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，

在△DCE和△MDA中，，

∴△DCE≌△MDA（SAS），

∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．

又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠MDA=90°，

∴DE⊥DM；

（2）解：四邊形CENF是平行四邊形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵BF=AM，

∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，

即MF=CD，

又∵F在AB上，點M在BA的延長線上，

∴MF∥CD，

∴四邊形CFMD是平行四邊形，

∴DM=CF，DM∥CF，

∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，

∴四邊形DENM都是矩形，

∴EN=DM，EN∥DM，

∴CF=EN，CF∥EN，

∴四邊形CENF為平行四邊形．