Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（0，﹣4）和B（2，0）兩點．

（1）求c的值及a，b滿足的關系式；

（2）若拋物線在A和B兩點間，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；

（3）拋物線同時經過兩個不同的點M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．

①若m＝n，求a的值；

②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，點M在直線y＝﹣2x﹣3上，請驗證點N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．

Answer 1

【答案】（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）0＜a≤1；（3）①a=；②見解析，a=1．

【解析】

（1）令x＝0，則c＝4，將點B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋c可得2a＋b＝2；

（2）由已知可知拋物線開口向上，a＞0，對稱軸x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，即可求a的范圍；

（3）①m＝n時，M（p，m），N（2p，n）關于對稱軸對稱，則有1＝1；②將點N（2p，n）代入y＝2x3等式成立，則可證明N點在直線上，再由直線與拋物線的兩個交點是M、N，則有根與系數的關系可得p＋（2p）＝，即可求a．

（1）令x＝0，則c＝﹣4，

將點B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，

∴2a+b＝2；

（2）∵拋物線在A和B兩點間，y隨x的增大而增大，

∴拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵A（0，﹣4）和B（2，0），

∴對稱軸x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，

∴0＜a≤1；

（3）①當m＝n時，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）關于對稱軸對稱，

∴對稱軸x＝1﹣＝﹣1，

∴a＝；

②將點N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，

∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，

∴N點在y＝﹣2x﹣3上，

聯立y＝﹣2x﹣3與y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有兩個不同的實數根，

∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，

∵p+（﹣2﹣p）＝-=，

∴a＝1．