Question

（2012•營(yíng)口）如圖，直線y=-x+b與雙曲線y=

1

x

（x＞0）交于A、B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于E、F兩點(diǎn)，連接OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，則b=

4

3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解可得y₁=x₂，y₂=x₁，從而判斷出點(diǎn)A、B關(guān)于OM對(duì)稱，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入雙曲線解析式計(jì)算即可得解．

解答：解：令y=0，則-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，則y=b，
所以，點(diǎn)E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF，
過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則ME=MF，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=-x+b y= 1 x

，
消掉y得，x²-bx+1=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，x₁•x₂=1，
所以y₁•y₂=1，
所以y₁=x₂，y₂=x₁，
所以O(shè)A=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三線合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
所以點(diǎn)A（

3

4

b，

1

4

b），
∵點(diǎn)A在雙曲線y=

1

x

上，
∴

3

4

b×

1

4

b=1，
解得b=

4

3

3

．
故答案為：

4

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解得到OA=OB，然后根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)A、B、M是線段EF的四等分點(diǎn)，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．