Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分別與對角線BD交于點G、H，連接EH，FG．

（1）求證：△BFH≌△DEG；
（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠FBH=∠EDG，

∵AE=CF，

∴BF=DE，

∵EG∥FH，

∴∠OHF=∠OGE，

∴∠BHF=∠DGE，

在△BFH和△DEG中，

，

∴BFH≌△DEG（AAS）

（2）解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：

連接DF，如圖所示：

由（1）得：BFH≌△DEG，

∴FH=EG，

又∵EG∥FH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，

∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，

∴△EDO≌△FBO，

∴OB=OD，

∵BF=DF，OB=OD，

∴EF⊥BD，

∴EF⊥GH，

∴四邊形EGFH是菱形．

【解析】（1）首先依據平行四邊形的性質可得到AD∥BC，AD=BC，OB=OD，接下來，依據平行線的性質證明∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，依據等角的補角相等可得到∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，最后由AAS進行證明即可；
（2）首先證明四邊形EGFH是平行四邊形，接下來，在依據等腰三角形的性質得出EF⊥GH，最后，依據對角線相互垂直的平行四邊形是菱形進行證明即可.
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和矩形的性質的相關知識點，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．