Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求該拋物線與x軸公共點的坐標；
（Ⅱ）若a=b=1，且當﹣1＜x＜1時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0時，對應的y1＞0；x2=1時，對應的y2＞0，試判斷當0＜x＜1時，拋物線與x軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，闡述理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=b=1，c=﹣1時，拋物線為y=3x2+2x﹣1，

方程3x2+2x﹣1=0的兩個根為x1=﹣1， ．

∴該拋物線與x軸公共點的坐標是（﹣1，0）和（ ，0）；

（Ⅱ）當a=b=1時，拋物線為y=3x2+2x+c，且與x軸有公共點．

對于方程3x2+2x+c=0，判別式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．

①當 時，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．

此時拋物線為y=3x2+2x+ 與x軸只有一個公共點（﹣ ，0）；

②當 時，x1=﹣1時，y1=3﹣2+c=1+c；

x2=1時，y2=3+2+c=5+c．

由已知﹣1＜x＜1時，該拋物線與x軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為 ，

應有 即 ，

解得﹣5＜c≤﹣1．

綜上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）

（Ⅲ）對于二次函數y=3ax2+2bx+c，

由已知x1=0時，y1=c＞0；

x2=1時，y2=3a+2b+c＞0，

又∵a+b+c=0，

∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．

∴2a+b＞0．

∵b=﹣a﹣c，

∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．

∴a＞c＞0．（7分）

∵關于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判別式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，

∴拋物線y=3ax2+2bx+c與x軸有兩個公共點，頂點在x軸下方．

又該拋物線的對稱軸 ，

由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，

得﹣2a＜b＜﹣a，

∴ ．

又由已知x1=0時，y1＞0；

x2=1時，y2＞0，觀察圖象，

可知在0＜x＜1范圍內，該拋物線與x軸有兩個公共點．

【解析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得拋物線的解析式，然后令y=0可得到關于x的方程，然后求得方程的兩根，從而可得到拋物線與x軸交點坐標；
（Ⅱ）把a，b代入可得到拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對稱軸為x=-，然后再分為△=0和△＞0兩種情況求解即可；
（Ⅲ）拋物線y=3ax2+2bx+c與x軸公共點的個數就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的實數根的個數，接下來，判斷出方程3ax2+2bx+c=0根的判別式的符號，依據判別式的符號得出相應的結論．
【考點精析】掌握拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本，需要知道一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．