Question

【題目】如圖，已知在四邊形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，點E，F，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點．

求證：(1)四邊形EFGH是矩形；

(2)四邊形EQGP是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）已知點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，根據三角形的中位線定理可得EF∥AC，GF∥BD，GH∥AC，EH∥BD，所以EF∥GH，GF∥EH，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可判定四邊形EFGH是平行四邊形；（2）已知點E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的中點，根據三角形的中位線定理可得EP＝BC，PG＝AD，GQ＝BC，QE＝AD，又因AD＝BC，所以EP＝PG＝GQ＝QE，即可判定四邊形EQGP是菱形．

試題解析：

(1)∵點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，

∴EF∥AC，GF∥BD，GH∥AC，EH∥BD，

∴EF∥GH，GF∥EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴EFGH是矩形．

(2)∵點E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的中點，

∴EP＝BC，PG＝AD，GQ＝BC，QE＝AD.

∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四邊形EQGP是菱形．