Question

【題目】如圖，在中，(圓心在內部)經過兩點，交線段于點直徑交于點點關于直線的對稱點落在上．連結．

求證:．

在圓心的運動過程中，

若，求的長．

若點關于的對稱點落在邊上時，求的值．(直接寫出答案)

令與邊的另一個交點為，連結交于點若，垂足為點求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②或；（3）證明見解析．

【解析】

（1）由對稱的性質可得∠A＝∠BFD，結合∠BFD＝∠C，即可推出結論；

（2）①先證∠DFE為直角，設，再用含a的代數式分別將FE，DE，EC表示出來，根據列方程即可求出CE的長；

②分兩種情況討論，當點F關于AC的對稱點落在BF邊上時，連接DO，設FF'交AC于點M，證明BD＝BE，△BOD是等腰直角三角形，即可求出結果；當點F關于AC的對稱點落在BE邊上時，點F'與點O重合，證明△DOF為等邊三角形，在Rt△DOE中，利用銳角三角函數即可求出結果；

（3）如圖作輔助線，先證明△QBG≌△ECM，推出BQ＝CE，再證明DQ＝DP＝AD即可．

解：（1）點關于直線對稱，

，

，

，

，

；

（2）①點關于直線對稱，

，

，

，

，

是直徑，

由圓的軸對稱性可知：，

，

，

，

設，則，

，

，

解得：，

；

②如圖1，當點F關于AC的對稱點落在BF邊上時，連接DO，設FF'交AC于點M，則AC垂直平分FF'，

由（1）知，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝90°，

∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°，

∵點A，F關于直線BD對稱，

∴AD＝DF，AB＝FB，

又∵DB＝DB，

∴△ABD≌△FBD（SSS），

∴∠ABD＝∠FBD，

∵△BFE≌△BCE，

∴∠FBE＝∠CBE，

∴∠ABD＝∠FBD＝∠FBE＝∠CBE＝22.5°，

∴∠DBE＝∠DBF＋∠EBF＝45°，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝45°，

∴∠DOB＝90°，

在△BDM與△BEM中，∠BDM＝∠BEM＝90°22.5°＝67.5°，

∴BD＝BE，

在等腰Rt△BOD中，設OB＝OD＝r，則BD＝，

∴BE＝，OE＝，

∴；

如圖2，當點F關于AC的對稱點落在BE邊上時，

∵∠DF'E＝∠DFE＝90°，∠DOB＝90°，

∴點F'與點O重合，

連接OF，則OD＝OF＝DF，

∴△DOF為等邊三角形，

∴∠ODF＝60°，

∴∠ODE＝∠FDE＝30°，

在Rt△DOE中，tan∠ODE＝＝tan30°＝，

∴，

綜上所述，的值為或；

（3）連結；FC交于點，

，

∴PC是直徑，

∵，

，

是等邊三角形，

，

∵，，

，

，

，

，

，

∴，

，，，

，

，

．