Question

【題目】如圖，二次函數的圖象經過點，直線與軸交于點為二次函數圖象上任一點．

求這個二次函數的解析式；

若點是直線上方拋物線上一點，過分別作和軸的垂線，交直線于不同的兩點在的左側)，求周長的最大值；

是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，求點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；最大周長為；或或．

【解析】

（1）運用待定系數法求這個二次函數的解析式；

（2）先求解的解析式，證明 得到 利用的坐標表示的長度，利用三角函數求解的長度，建立周長與的橫坐標之間的函數關系式，利用函數的最值求周長的最大值，

（3）分情況討論：以為直角頂點，利用 可直接得到答案，以為直角頂點時，利用求解的解析式，聯立一次函數與二次函數的解析式可得答案．

解：（1）

設拋物線為：

把代入

（2）設直線為

解得：

軸，軸，

設

的周長

當時，周長最大．

最大周長為：

（3）如圖，當時，

為拋物線與軸的交點，

當時，與軸交于點，

設的解析式為：

解得：

為

解得：

或

綜上：以為直角邊的直角三角形時，點坐標為或或．