Question

【題目】如圖，C、D是半圓O上的三等分點，直徑AB=4，連接AD、AC，DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點F．

（1）求∠AFE的度數；
（2）求陰影部分的面積（結果保留π和根號）．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，OC，

∵C、D是半圓O上的三等分點，

∴ = = ，

∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，

∴∠CAB=30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°﹣30°=60°；

（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，

∵OA=OD，AB=4，

∴△AOD是等邊三角形，OA=2，

∵DE⊥AO，

∴DE= ，

∴S陰影=S扇形AOD﹣S△AOD= ﹣ × = π﹣ ．

【解析】根據題意連接OD，OC，求得∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，再根據圓周角定理和直角三角形的性質即可求∠AFE的度數；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，求的△AOD是等邊三角形，再由DE⊥AO，得到DE的值，再根據扇形和三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積．

【考點精析】利用圓周角定理和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．