Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？請求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），C（0，2）在拋物線y= x2+bx+c上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2；

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴拋物線對稱軸為直線x= ，

∴D（ ，0），且C（0，2），

∴CD= = ，

∵點P在對稱軸上，

∴可設P（ ，t），

∴PD=|t|，PC= ，

當PD=CD時，則有|t|= ，解得t=± ，此時P點坐標為（ ， ）或（ ，﹣ ）；

當PC=CD時，則有 = ，解得t=0（與D重合，舍去）或t=4，此時P點坐標為（ ，4）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（ ， ）或（ ，﹣ ）或（ ，4）；

（3）

解：當y=0時，即﹣ x2+ x+2=0，解得x=﹣1或x=4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

設直線BC解析式為y=kx+s，由題意可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣ x+2，

∵點E是線段BC上的一個動點，

∴可設E（m，﹣ m+2），則F（m，﹣ m2+ m+2），

∴EF=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m=﹣ （m﹣2）2+2，

∴S△CBF= ×4EF=2[=﹣ （m﹣2）2+2]=﹣（m﹣2）2+4，

∵﹣1＜0，

∴當m=2時，S△CBF有最大值，最大值為4，

此時﹣ x+2=1，

∴E（2，1），即E為BC的中點，

∴當E運動到BC的中點時，△CBF的面積最大，最大面積為4，此時E點坐標為（2，1）．

【解析】（1）由A、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）可設出P點坐標，則可表示出PC、PD和CD的長，分PD=CD、PC=CD兩種情況分別得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標；（3）由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，可設出E點坐標，則可表示出F點的坐標，從而可表示出EF的長，可表示出△CBF的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值及此時點E的坐標．