Question

【題目】我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”(如圖)，此圖揭示了(a＋b)n(n為非負整數)展開式的項數及各項系數的有關規律．例如：(a＋b)0＝1，它只有一項，系數為1；(a＋b)1＝a＋b，它有兩項，系數分別為1，1，系數和為2；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有三項，系數分別為1，2，1，系數和為4；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四項，系數分別為1，3，3，1，系數和為8……

根據以上規律，解答下列問題：

(1)(a＋b)4的展開式共有多少項，系數分別為多少；

(2)寫出(a＋b)5的展開式；

(3)(a＋b)n的展開式共有多少項，系數和為多少．

Answer 1

【答案】(1)5；　1，4，6，4，1；(2)a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；(3)(n＋1)；　2n.

【解析】

（1）本題通過閱讀理解尋找規律，觀察可得（a+b）n（n為非負整數）展開式的各項系數的規律：首尾兩項系數都是1，中間各項系數等于（a+b）n-1相鄰兩項的系數和．因此可得（a+b）4的各項系數分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）由（1）得出的規律，即可得出結果；
（3）根據題意得出（a+b）n展開式共有（n+1）項，當a=b=1時，（a+b）n=2n即可．

解：（1）根據題意知，（a+b）4的展開后，共有5項，
各項系數分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）根據題意得：（a+b）5的展開式為a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

（3）根據題意得：(a＋b)n的展開式共有（n+1）項

當a=b=1時，（a+b）n=2n．

即：(a＋b)n的展開式系數和為2n．