Question

【題目】(1)如圖1，將兩個全等的三角板如圖擺放，其中△ABC和ΔADE的直角頂點重合在點A處，∠ADE=∠ABC=60°，且點D在AC上，點B在AE上，∠C=∠E=30°，AB=AD，AC=AE，BC=DE，BC和DE相交于點F.求證:CF=EF.

(2)如圖2，將這兩個三角板如圖擺放，直角頂點A仍然重合，BC與DE相交于點F，AC與DE交于點M，AE和BC交于點N.猜想CF和EF還相等嗎?說明理由.

(3)如圖3，在(2)的基礎上，若∠DAM=30°.求證:線段DF和AC互相垂直平分.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）相等，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據AB=AD，AC=AE得出CD=BE，進而求出△CDF≌△EBF.，即可得出答案；

（2）根據題意求出∠BAN=∠DAM，進而證明△BAN≌△DAM，得出AN=AM，進一步求出CM=EN，再證明△CMF≌△ENF，即可得出答案；

（3）連接AF，求出∠CAN=60°，證明ΔACF≌△AEF得到∠CAF=∠CAN=30°，再證△ADM≌ΔAFM得到DM=FM，最后證△CFM≌△AFM得出AM=CM，即可得出答案.

(1)證明:∵AB=AD，AC=AE

∴AC=AD=AE-AB

∴CD=EB

在△CDF和△EBF中

∴△CDF≌△EBF

∴CF=EF

(2)解:相等.

理由如下:∵∠CAB=∠EAD-90°

∠CAB-∠CAE=∠EAD-∠CAE

∴∠BAN=∠DAM

在△BAN和△DAM中

∴△BAN≌△DAM

∴AN=AM

∴AC-AM=AE-AD.

∴CM=EN

在△CMF和△ENF中∠C=∠E

∴△CMF≌△ENF

∴CF=EF

(3)證明:連接AF，

當∠DAM=30°時，∠AMD=180°-∠D-∠DAM=180°-60°-30°=90°，

∴AC⊥DF，即∠AMD=∠AMF=∠CMF=90°；

∠CAN=∠DAE-∠DAM=90°-30=60°，

在△ACF和ΔAEF中，

∴ΔACF≌△AEF，

∴∠CAF=∠EAF

∴∠CAF=∠EAF=∠CAN=30°

在△ADM和△AFM中

∴△ADM≌ΔAFM

∴DM=FM，即AC平分DF

在△CFM和△AFM中

∴△CFM≌△AFM

∴AM=CM，即DF平分AC，

綜上所述，AC和DF互相垂直平分.