Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b的圖象經過點B（0，2），且與x軸的正半軸相交于點A，點P、點Q在線段AB上，點M、N在線段AO上，且△OPM與△QMN是相似比為3：1的兩個等腰直角三角形，∠OPM=∠MQN=90°．試求：
（1）AN：AM的值；
（2）一次函數y=kx+b的圖象表達式．

Answer 1

分析：過P、Q兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D，設DQ=a，由△OPM與△QMN是相似比為3：1的兩個等腰直角三角形，可知OC=PC=3a，OD=7a，而直線y=kx+b的圖象經過點B（0，2），得b=2，將P（3a，3a），Q（7a，a）代入求a、k的值，解答（1）（2）的問題．

解答：解：過P、Q兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D，
設DQ=a，依題意，得OC=PC=3a，OD=7a，
又∵而直線y=kx+b的圖象經過點B（0，2），
∴b=2，
將P（3a，3a），Q（7a，a）代入y=kx+2中，得

3ak+2=3a 7ak+2=a

，
解得

a= 4 9 k=- 1 2

，
∴直線AB解析式為y=-

1

2

x+2，可知A（4，0），
（1）AN=OA-ON=4-8a=

4

9

，AM=OA-OM=4-6a=

4

3

，AN：AM=

4

9

：

4

3

=1：3；
（2）直線AB解析式為y=-

1

2

x+2．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據兩個等腰直角三角形相似的條件及相似比，設P、Q兩點坐標求直線解析式．